Marathon des exercices [Reduction des endomorphismes]

  • le 15/10/2013 à 21:02 Citer ce message

    Bonsoir a tous . AID MOUBARAK SAID

    règles du marathon :
    si qq a répondu il postera un autre exercice ...
    si l'exercice a pu résisté 3 jour le poseur postera la solution ou bien une "HINT"'...
    il faut numéroté les exercices .

    a vous marque pres partii ....
    Bon Je Commence !!
    Exercice 1 :
    E de dim finie .
    u , v deux endo de E tq uv - vu = u .
    1 / mq pour tout k dans N* : (u^{k})v - v(u^{k}) = k.u^{k}
    2 / mq u est nilpotent .
  • le 15/10/2013 à 22:11 Citer ce message

    Je salue l'initiative, de ma part celui qui aura répondu au maximum d'exercices aura un petit encouragement.
    J'apprécie l'exercice surtout qu'il fait le rapport avec un autre déja vu en classe.
    Alors qui sera le premier à le solutionner? (hormis azrou bien sur parce que je sais que tu ne peux pas ne pas connaitre la solution)
  • le 18/10/2013 à 21:17 Citer ce message

    salut
    voici une proposition de la solution de l'exr-1
    1-par récurrence sur k
    pour k=1 OK
    soit k de IN\{0}
    on suppose la pté vraie au rang k et montrons la pour k+1
    on a :
    u^{k+1}.v - (k+1).u^{k+1} =u.(k.u^{k}+v.u^{k}) - k.u^{k+1} - u^{k+1}
    =u.v.u^{k} - u^{k+1}
    =(u+v.u).u^{k} - u^{k+1}
    =v.u^{k+1}
    (récurrence achevée)
    2- soit k de IN\{0}
    on a u^{k}.v - v.u^{k}=k.u^{k}
    donc tr(u^{k}.v) - tr(v.u^{k})=k.tr(u^{k})
    or tr(u^{k}.v)=tr(v.u^{k})
    donc k. tr(u^{k})=0
    et puis tr(u^{k})=0
    par suite u est nilpotent
    (on a vu dans le cours cette pté (dans le parag "trigonalisation"))
  • le 19/10/2013 à 00:17 Citer ce message

    Vrai , a Vous de Proposer L'exercice 2 .
  • Hajmi
    Hajmi

    le 19/10/2013 à 14:01 Citer ce message

    Bravo soumya. Le premier point est pour toi. Avant de finir avec l'exercice j'ai une question à proposer. Est ce que le resultat de la deuxième question subsiste encore en dimension fine?
  • le 19/10/2013 à 18:38 Citer ce message

    je propopse pour la 2 eme question une autre solution !
    si on considere l'endomorphisme sur L(E)
    qui a tt f on associe fv-vf . alors cette application aura une infinité de vap car si i !=j alors (f^i) != (f^j), ce qui n'est pas possible en dimension finie sauf si f^k sannule a un certain rang ! de plus k<=n !
  • le 20/10/2013 à 03:13 Citer ce message

    Wow. Je suis fier de mes élèves. Encore une excellente méthode . On commence a se rendre compte de plus en plus de la nécessité de la dimension finie .Un deuxième point pour nidal.
  • le 21/10/2013 à 14:22 Citer ce message

    salut
    proposition de réponse à la question du Prof
    on suppose que E est de dim infini et on suppose pourtant que le résultat de l'exr 1 est vrai
    on a donc u est nilpotent donc Xu=(-1^{n}).x^{n} (le poly caractéristique)
    donc u est trigonalisable et puis il existe p scindé annulateur de u (Pu est scindé (le poly minimal))
    donc Pu existe
    or K[u]c L(E) qui est de dim infinie
    donc on risque d'avoir K[u] de dim infinie
    par suite on risque de ne pas avoir l'existence de Pu
    ce qui n'est pas vrai
    donc le cas de E est de dim infini n'est pas en général valable dans notre exr

    EXR 2
    détérminer les matrices M de Mn(C) tq:
    tr(M)=0 et M^{3}-4M^{2}+4M=0
  • le 21/10/2013 à 22:55 Citer ce message

    Ah non soumaya, on ne parle pas du polynome caractéristique en dimension infinie.
    Bon je vais clore ce sujet, en proposant moi meme un contre exemple pour le cas de la dimension infinie.
    On prend $E=\K[X]$, soit $u$ l'endomorphisme dérivation
    $$u: P-> P'$$
    Soit $v\in L(E)$ défini par:
    $$v(x^k)=kX^k$$
    (un endomorphisme est parfaitement déterminé par les images des éléments de la base). Nous avons:
    $$(v(X^k))'-v((X^k)')=k^2X^{k-1}-k(k-1)X^{k-1}=kX^{k-1}$$
    C'est à dire:
    $$u(v(X^k))-v(u(X^k))=u(X^k)$$
    Par combinaison linéaire:
    $$\forall P\in \K[X]: u(v(P))-v(u(P))=u(P)$$
    $u,v$ vérifient les données de l'exercice et pourtant $u$ n'est pas nilpotent, car
    $$\forall n\in \N: u^n(X^n)=n!\neq 0$$
    Image
  • le 21/10/2013 à 22:59 Citer ce message

    A vous maintenant l'exercice 2 de soumaya:
    Exercice 2
    Déterminer les matrices $M$ de $M_n(\C)$ tel que:
    $$tr(M)=0 et M^{3}-4M^{2}+4M=0$$

    Image
  • le 06/11/2013 à 23:00 Citer ce message

    Excellente réponse ilias!
  • le 07/11/2013 à 12:35 Citer ce message

    Merci, donc je poste le prochain exercice :
    Soit n € IN et soient a1,a2,...,an € C* et A=(ai/aj) 1<=i,j<=n
    Montrer que A est diagonalisable !
  • le 09/11/2013 à 12:16 Citer ce message

    en effet, mais pourrais-tu aller plus loin et en donner une diagonalisation ? Sinon, c'est à ton tour de poser un exercice !
  • le 11/11/2013 à 18:31 Citer ce message

    E un ev réel de dim fini
    f€ L(E) tq f²=f
    étudier les vap et la diagonalisibilité de l endomorphisme :
    L(E)-----> L(E)
    u ------> fu-uf
  • Youssouf Emin
    Youssouf Emin

    le 25/12/2013 à 00:48 Citer ce message

    1- f admet X(X-1) comme polynôme annulateur et X(X-1) est scindé à racines simples donc f est diagonalisable si on note M la matrice canoniquement associée à f, il existe P une matrice inversible et D=(d1,....,dn) diagonale(où n est la dimension de E et les di sont les valeurs propres de f qui sont 1 et 0) tels que M=(P^-1)DP.
    2-Notons d l'endomorphisme canoniquement associé à D et g l'endomorphisme de L(E) qui associe à u, du-ud. la matrice de g dans la base canonique de L(E) est diagonale en effet pour tout i,j dans {1,.....,n} g(e(i,j))=(di-dj)e(i,j).
    3-Notons p l'endomorphisme canoniquement associé à P et h l'endomorphisme de L(E) qui associe à u, (p^-1)up alors h est bijective et dont l'application réciproque est u--->pu(p^-1).
    En notant F l'endomorphisme de l'énoncé on a par un calcul simple F=(h^-1)gh et par conséquent F est diagonalisable et son spectre est l'ensemble {di-dj / i,j=1......n}={0,-1,1} car di est soit 0 ou 1
  • Youssouf Emin
    Youssouf Emin

    le 25/12/2013 à 00:55 Citer ce message

    Exercice??
    soit (a(n)) une suite à valeurs réelles montrer qu'il existe une fonction f de classe C-infini sur R telle que la dérivée nieme de f en 0 est an pour tout n dans N
  • le 25/12/2013 à 15:38 Citer ce message

    salam,
    On pose pour tout n € IN* fn : x l--> 1/n!*(a(n)*x^n) et f0 : x l--> a(0)
    On a pour tout n >= 3 et pour tout x de [0,1] Ifn(x)I <= 1/n² et on a ∑1/n² converge en tant que série de Riemann
    donc ∑fn converge normalement sur [0,1] d'où elle converge uniformément sur [0,1] vers une fonction f
    on pourra démontrer de la même manière que pour tout k de IN* la série ∑fn^(k) des dérivées k-ièmes des fn (elles existent car les fn sont de classe C-infini sur IR) converge uniformément sur [0,1] vers une fonction fk
    d'où on a pour tout k de IN fk = f^(k) la dérivée k-ième de f
    Or puisque pour tout k de IN ∑fn^(k) (0) = a(k)
    alors pour tout k de IN f^(k) (0) = a(k)
    voilà en espérant n'avoir pas fait de faute grave quelque part :P
  • Youssouf Emin
    Youssouf Emin

    le 25/12/2013 à 16:12 Citer ce message

    malheureusement la proposition |fn(x)|<=1/n^2 n'est pas vraie si on prend an=(n!)^2.
    donc à revoir.
  • le 25/12/2013 à 17:45 Citer ce message

    Effectivement votre suite ne vérifie pas ma proposition, mais dis moi Youssouf, lim f^(k) (0) quand k tend vers +∞ ne doit-elle pas être finie ? et alors dans ce cas la suite des (an) se doit d'être convergente ce que ne vérifie pas an = (n!)² Excuse moi si je me trompe :/

    Mais quand tu as raison sur le fait que ma proposition ne sois pas vraie (par exemple pour an=1/(2^n) ) Je devrais alors la modifier et dire qu'à partir d'un certain rang elle sera vérifiée (pas obligatoirement 3 comme je l'ai maladroitement fait précédemment je m'en excuse) et puisque la nature d'une suite ne change pas en modifiant un nombre fini de ses termes alors ∑fn convergera (je l'espère :D )
  • Youssouf Emin
    Youssouf Emin

    le 25/12/2013 à 18:12 Citer ce message

    lim f^(k) (0) quand k tend vers +∞ ne doit-elle pas être finie ?
    non la suite est quelconque donc c'est à revoir
  • Youssouf Emin
    Youssouf Emin

    le 25/12/2013 à 22:41 Citer ce message

    Indication soit g une fonction de la variable réelle positive de classe C-infini telle que g est constante égale à 1 sur [-1/2,1/2] et nulle sur [1,+∞[et ]-∞,-1] soit (bn) une suite bn>max(an,1) posons f(x)=somme(0 à +∞)(a(n)*g(xb(n))/n!)
    Montrer que f vérifie ce qui est demandé
    Que reste-t-il à faire?
  • le 27/09/2014 à 15:27 Citer ce message

    slt des pb reduction plz
  • le 30/09/2014 à 02:42 Citer ce message

    Pour tres bientôt scmath

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